Отправлено: 10.03.07 04:00. Заголовок: Кто её порвал? (мат. задачка)

Речь сегодня пойдет о тригонометрических рядах. Тригонометрический ряд - это разложение функции f(x) вида:

f(x)=a0/2+a1cosx + b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ... + ancosnx + bnsinnx + ...

Где коэффициенты при тригонометрических функциях вычисляются следующим образом:

a0 = 1/π∫f(x)dx
a1 = 1/π∫f(x)cosxdx
b1 = 1/π∫f(x)sinxdx
a2 = 1/π∫f(x)cos2xdx
b2 = 1/π∫f(x)sin2xdx
...
Все интегралы берутся от -π до π

Сумма тригономертрического ряда в пределе есть функция f(x) на промежутке (-π;π)

Итак, если мы вычислим в этом приближении например такую функцию:
f(x)=(c1, -π<x<0 | c2, 0<x<π)
То получим следующее разложение (матемтические выкладки я приводить не буду):

f(x) = (c1+c2)/2 + ∑(k=[1;+∞)) 2(c1-c2)/π(2k-1)*sin(2k-1)x
Исходная функция разрывна на (-π,π), значит и сумма ряда тоже разрывна, даже без учета особых точек.
Но у нас есть одна из основных теорем математического анализа, что "сумма непрерывных функций - непрерывная функция". Здесь же мы имеем сумму непрерывных функций (тригонометрических), которая является разрывной функцией.

В чем дело? Кто порвал функцию?

 Отправлено: 10.03.07 04:53. Заголовок: Re:

у меня есть подозрение, что ответ напоминает анекдот про блондинок:
-а где свет? (открывает холодильник) а вот он где

 Отправлено: 10.03.07 15:02. Заголовок: Re:

jta
антох ты с ума сошёл?

 Отправлено: 10.03.07 15:48. Заголовок: Re:

нет, просто ему понравилось слово "порвал".

 Отправлено: 10.03.07 16:37. Заголовок: Re:

jta смешно, да?

 Отправлено: 10.03.07 19:59. Заголовок: Re:

Igor точно!

 Отправлено: 10.03.07 20:27. Заголовок: Re:

У нас же коэффициенты - не числа, а функции, которые разрывны на отрезке, поэтому это никакая не сумма непрерывных функций
Но сегодня меня куда больше интересует вопрос, что ты вчера курил, чтобы в 3 часа ночи (!!!) повесить ТАКУЮ задачу?!

 Отправлено: 10.03.07 21:49. Заголовок: Re:

violet

Нет, коэффициенты - числа, поскольку являются на самом деле определенными интегралами (об этом в начальном посте говорится).

Мы говорим, что сумма двух непрерывных функций - непрерывна; отсюда по индукции следует, что сумма любого конечного числа непрерывных функций также непрерывна. Однако в ряде Фурье слагаемых бесконечно много, и тогда надо обсуждать предел, к которому этот ряд стремится в каждой точке. Теорема, на которую jta ссылается, здесь неприменима.

Чудес не бывает.

 Отправлено: 10.03.07 23:17. Заголовок: Re:

Препод
Ладно, согласна, не заметила, что определенные. Я думала, это что-то вроде дифференциального уравнения только с интегралами. Ряды Фурье не встречала раньше.
Джеффри, так это Вы украли пароль у Антона и вывесили задачу?

 Отправлено: 10.03.07 23:43. Заголовок: Re:

violet

нет конечно. :))

Да это и не есть задача, а простейший вопрос, который можно было бы задать на устном экзамене "на тройку".

 Отправлено: 11.03.07 00:18. Заголовок: Re:

Препод
ага

 Отправлено: 11.03.07 00:22. Заголовок: Re:

zhek

Ну в миэфе-то эту тему не проходят... в ней ничего сложного нет, уверяю.

 Отправлено: 11.03.07 01:35. Заголовок: Re:

Радует то, что получил ответ на свой вопрос.
Огорчает то, что, похоже, серьезно меня тут мало кто воспринимает.

А насчёт чудес..Всё зависит от трактовки, что для одного чудо, то для другого - лишь один из возможных исходов, который хоть и маловероятен, но всё же возможен. Другими словами, в точных науках не бывает чудес, но жизнь это не только точные науки.

 Отправлено: 11.03.07 11:37. Заголовок: Re:

jta пишет:

цитата:

Другими словами, в точных науках не бывает чудес, но жизнь это не только точные науки.

Ух ты! Я просто не смогла пройти мимо этой фразы:)
"Любая точная наука основывается на приближении" (Б. Рассел)
Мне с некоторых пор плохо понятно, почему существует понятие "точные науки". Человек изобрел инструментарий для того, чтобы приблизить действительный мир, записать его числами и функциями. Другими словами: эти самые точные науки -- не более чем попытка описать окружающее, и нет никакого абсолютного доказательства того, что эта попытка увенчалась успехом. Если иметь дело с числами и функциями, то чудес, разумеется, не бывает, их там просто быть не может, по определению. Ну а если за числами и функциями видеть этот самый мир, то математика -- наука чудесная:), как и физика, впрочем.

Если что, извините, это я утром, спросонья:)

 Отправлено: 12.03.07 01:51. Заголовок: Re:

jta
А посложнее что-нибудь есть?

 Отправлено: 12.03.07 02:12. Заголовок: Re:

1004

Пока нет, но если будет - обязательно поделюсь.