Несмотря на экзаменационную пору мне тут задали вопрос:
Какие книги могут помочь самостоятельно углубить свою математическую подготовку?
Вот мой ответ в виде списка книг с коментариями.
Это ни в коем случае не полный обзор литературы. Это те книги, после которых можно уже достойно ориентироваться в предмете и самому выбирать, что делать дальше. И они мне понравились.
За редким исключением все книги выложены в интернеты с нарушением копирайта. Злостные негодяи нарушают копирайт на www.avaxhome.ru или www.poiskknig.ru
Game theory:
1. Osborne, Rubinstein, Introduction to game theory
- много поучительных примеров
- много упражнений (с решениями в интернете)
- длинная книга
2. Данилов, Лекции по теории игр
- математическое изложение
- 140 стр.
- почти нет упражнений
- открыто доступна в сети
Stochastic calculus:
1. Mikosch, Elementary stochastic calculus
- 200 стр.
- нет упражнений
- строгие формулировки и нестрогие доказательства
- финансовые приложения - только формула Блэка-Шоулса
2. Shreve, Stochastic calculus for finance, II
- 540 стр
- есть упражнения
- наличие многих доказательств
- подробно о финансовых приложениях
- классика
3. Steele, Stochastic calculus and financial applications
- 320 стр
- немного упражнения (с решениями в интернете)
- почти все доказательства
- финансовые приложения - немного
- быстрый рост сложности текста
4. Brzezniak, Zastawniak, Basic stochastic processes
- Самая простая книга, где строго определен стохастический интеграл и доказана лемма Ито
- упражнения с решениями
- нет финансовых приложений
5. Klebaner, Fima, Introduction to stochastic calculus with applications
- много упражнений
- стохастический анализ, приложения в финансах, биологии, физике
- по объему стоханализа похоже на Steele, но плавный рост сложности текста
- почти все доказательства
6. Wilde, Stochastic analysis notes
- нет упражнений
- математическое изложение
- 100 страниц
- без финансов
- строго и максимально коротко
- открыто доступна в сети
http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/ Probability:
1. Wilde, Measure, Integration and probability
- нет упражнений
- математическое изложение
- 100 страниц
- строго и максимально коротко
- логично связано с текстом по стохастическому анализу
- открыто доступна в сети
http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/ 2. Rosenthal, First look at rigorous probability
- максимально просто закрывает дырки в доказательствах (т. Фубини, Каратеодори, интеграл Лебега, условные ожидания, производная Радона-Никодима, ЦПТ, сходимости)
- определяется стохастический интеграл Ито
- много упражнений
- 200 страниц
- в электронном виде пока не встречал
3. Larson, Odoni, Urban operations research
- В книге нет монеток и урн с разноцветными шарами. Зато есть очереди в магазин, самолеты, заходящие на посадку, потоки грузов... Теория вероятностей при моделировании подобных процессов
- открыто доступно первое издание
http://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/ 4. Koralov, Theory of probability and random processes
Строго от оснований теории вероятностей до стохастических дифференциальных уравнений
- 350 стр
- системно, математически
- упражнения
5. Williams, Probability with martingales
От оснований теории вероятностей до ЦПТ и мартингалов
- 250 стр
- упражнения
- оригинальный стиль изложения
6. Stirzaker, Probability and random processes
от элементарной теории вероятностей до мартингалов и формулы Ито
- 600 стр
- большинство доказательств включены
- много упражнений
7. Resnick, Adventures in stochastic processes
Цепи Маркова, цепи Маркова в непрерывном времени, Броуновское движение (в т.ч. закон повторного логарифма), процессы рождения-гибели...
- оригинальное изложение (одно только название!)
- 600 страниц
- упражнения
Прочее:
1. Crack, Heard on the Street
Вопросы с интервью на должности quantitative finance:
Головоломки, Блэк-Шоулс, Общие экономические вопросы и вопросы о себе.
- задачи с решениями
- выложена в сети с нарушением копирайта
Размышления на тему:
Мне иногда кажется, что оптимальный размер книги для самообучения - не больше (чуть больше) 100 страниц. Если книга большая - трудно удержаться. Если в книге больше 100 страниц имеет смысл отобрать для себя главы.
Кого спросить при самоподготовке?
Тем кого интересует стохастический анализ и финансы имеет смысл посмотреть форумы (student, brainteaser и др.) на www.wilmott.com
По теории вероятностей и другой математике - очень активный форум www.artofproblemsolving.com (конкретно теория вероятностей там на форуме в разделе college playground).
Если хочется большой и чистой математики, то www.mccme.ru/ium
Если не понятно, чего хочется, то ознакомьтесь с открытым списком курсов MIT:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/courses/courses/index.htm Предлагаемый план (если самому трудно выбрать книгу):
Если хочется поглубже в теорию игр:
1. Почитать и порешать Osborne, Rubinstein, Introduction to game theory
Если хочется финансового стохастического анализа:
1. В качестве основной книги взять Shreve, Stochastic calculus II
2. Порешать задачи из Crack, Heard on the Street
3. Если трудно непосредственно со стохастическим анализом, или если он интересен сам по себе, то дополнительно Klebaner, Intro to stochastic calculus with applications
3б. Если Klebaner - оказался трудным, то Mikosch, Elementary stochastic calculus
4. Если захотелось строго залатать недоказанные теоремы из теории вероятностей, то Rosenthal, First look at rigorous probability
5. Если не хватает умения решать задачи по теории вероятностей, то (тут много вариантов), например:
Resnick, Adventures in stochastic processes
Stirzaker, Probability and random processes
А в целом - пролистайте предложенные книжки (еще раз скажу, что злостные нарушители копирайта находят их на www.avaxhome.ru), если зацепило - беритесь.
Если что - спрашивайте.
Борис Демешев
Форум студентов МИЭФ
- участник сейчас на форуме
- участник вне форума